FDC ابعاد فراکتال یک شیء را به عنوان یک تصویر سیاه و سفید نشان می دهد که در آن شیء مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد ، فرض می شود که از پیکسل های سیاه ساخته شده است. این کار توسط یک الگوریتم به نام "جعبه شمارش" انجام می شود. برنامه ارائه شده در اینجا به روزرسانی به یک برنامه بسیار محبوب است که در اوایل دهه 90 برای Macintosh نوشته شده است. این به روزرسانی برای Mac OS-X (به عنوان یک برنامه UNIX) ارائه شده است. برنامه قبلی (دیگر در دسترس نیست) به همراه مستندات را می توان در اینجا یافت ، در زیر فرض بر این است که مستندات نسخه قبلی خوانده شده است.

نظریه کوتاه

یک خط را در نظر بگیرید ، اگر خط را به نصف تقسیم کنیم ، دو بیت طول می کشد تا خط اصلی را بازآفرینی کنیم. اگر خط را به 4 قطعه تقسیم کنیم ، 4 مورد از آنها طول می کشد تا خط را بپوشانیم. ما می توانیم این را به طور کلی بنویسیم ، اگر یک قطعه خط از طول "S" داشته باشیم ، تعداد بخش هایی که خط اصلی را پوشش می دهند توسط n (s) = (1/s) 1 داده می شود.

یک مربع را در نظر بگیرید ، اگر ما آن را در مربع های کوچکتر با هر یک با طول 1/2 تقسیم کنیم ، 4 از این قطعات کوچکتر طول می کشد تا مربع اصلی را تشکیل دهد. اگر مربع را در مربع های کوچکتر با 1/4 طول جانبی تقسیم کنیم ، 16 مورد از آنها طول می کشد تا مربع اصلی را تشکیل دهند. همانطور که در بالا می توانیم برای پوشاندن مربع اصلی ، برای تعداد قطعات مورد نیاز از اندازه "s" نیاز داشته باشیم ، آن n (s) = (1/s) 2 است.

برای یک مکعب تکرار کنید. n (s) = (1/s) 3.

نمایندگان 1 ، 2 و 3 در مثال های فوق برای مفهوم ما از ابعاد درگیر اساسی هستند. این را می توان به n (s) = (1/s) d تعمیم داد که در آن d بعد ، یک عدد صحیح مانند بالا است اما لازم نیست. اگر لگاریتم های هر دو طرف را بگیریم ، ورود به سیستم (n (s)) = d log (1/s) داریم ، به ترتیب کلمات می توانیم با ترسیم ورود (n (s)) در برابر log (1/s) ابعاد را تخمین بزنیم. شیب آن ابعاد است ، اگر یک عدد صحیح نباشد ، بعد کسری (فراکتال) است.

زباله های صفحه نمایش

یک هدف جانبی برای این پروژه این بود که ببینیم نرم افزار گرافیکی تا چه اندازه می تواند نوشته شود و در سیستم های متعدد UNIX از جمله Mac OS-X قرار دارد. هدف این بود که به جای داشتن کد موردی خاص برای هر بستر خاص ، یک نسخه منبع واحد ایجاد کنیم. برای این منظور ، تمام گرافیک ها با استفاده از OpenGL و رابط GLUT ایجاد می شوند ، همه دیالوگ ها و IO کاربر با کتابخانه فرم ها (XFORMS) اجرا می شوند. بنابراین ، فرض بر این است که OpenGL و X در دسترس هستند ، یک وضعیت نسبتاً متداول.

FDC یک برنامه Mac OSX است که می تواند برای ارزیابی آزادانه بارگیری شود. این کاملاً کاربردی است به جز اینکه نمونه گیری جبران (یک ویژگی مهم برای برآورد خوب از بعد فراکتال) فعال نیست. این امر به کاربران آینده نگر اجازه می دهد تا برنامه های کاربردی را روی سیستم خود بررسی کنند و همانطور که انتظار می رود قبل از سرمایه گذاری در نسخه ای انجام شود که تخمین های مطمئن تر از بعد فراکتال را محاسبه می کند. اگر در این نسخه نسخه ی نمایشی مشکلی دارید ، با نویسنده تماس بگیرید. برای به دست آوردن نسخه کامل با نمونه برداری افست ، هزینه کمی قابل پرداخت است.

با توجه به راهپیمایی پیشرفت ، برخی از فناوری ها پشت سر می گذارند ، در این حالت عدم موفقیت (صحیح) پشتیبانی (صحیح) پشتیبانی از X11 در نمایشگرهای شبکیه آنها است. به همین ترتیب ، این نرم افزار متأسفانه دیگر در دسترس نیست.

FDC را می توان در هر دو حالت گرافیکی اجرا کرد که در آن کاربر گزینه ها را انتخاب می کند و بازخورد گرافیکی را در مورد این روند دریافت می کند یا می توان آن را بی سر و صدا اجرا کرد. FDC پنجره ای با تصویر فعلی ارائه می دهد (خالی خواهد بود ، سفید) ، از اینجا می توانید از دکمه سمت راست ماوس استفاده کنید (کنترل را بر روی یک مک با فقط یک دکمه ماوس واحد کلیک کنید) برای نشان دادن منوها از جایی که می توانید باز کنیدپرونده TGA (24 یا 32 بیتی) ، گزینه ها را تنظیم کنید ، پردازش را شروع و متوقف کنید ، نمودار را نمایش داده و نتایج را برای تجزیه و تحلیل بیشتر ذخیره کنید.

لیست کامل گزینه های خط فرمان برای FDC را می توان با تایپ "FD C-H" مشاهده کرد ، در زمان نوشتن آنها به شرح زیر است.

بنابراین به عنوان مثال خط فرمان برای اجرای تجزیه و تحلیل در تصویر "Snowflake. tga" (که در توزیع FDC تهیه شده است) بی سر و صدا با نتایج نوشته شده برای خروجی استاندارد ، با استفاده از اندازه های جعبه ای که از 200 تا 8 در مراحل فاکتور 1. 2 با 100 است. نمونه های افست ممکن است به شرح زیر باشد.

نتایج موجود در "Snowflake. dat" چیزی شبیه به متن در سمت چپ زیر خواهد بود. در جایی که ستون اول اندازه (های) جعبه است ، ستون دوم حداقل تعداد جعبه های پوشش (N) است ، ستون سوم log (1/s) است و آخرین ستون Log (N) است. برآورد بعد فراکتال شیب این نمودار است. اگر برنامه در حالت گرافیکی اجرا شود ، در انتهای پردازش پنجره نمودار چیزی شبیه به تصویر در سمت راست خواهد بود.

توجه داشته باشید که بعد فراکتال نظری برای منحنی برف برف ، ورود به سیستم (4)/log (3) = 1. 262 است.

اگر گزینه ها و پنجره نمودار پنهان باشند ، پردازش به طور کلی سریعتر اجرا می شود. اگر در حالت "آرام" با استفاده از گزینه خط فرمان "-Q" اجرا شود ، به طور قابل توجهی سریعتر اجرا می شود. این امر به ویژه در صورت استفاده از تعداد زیادی از جبران خسارت بسیار مهم است.

دامنه اندازه جعبه

دامنه پیش فرض اندازه جعبه ها معمولاً بهینه است اما همیشه چنین نیست. آنها فقط باید تغییر کنند که شما تجربه و درک فرایندهای درگیر داشته باشید. نمودار زیر نتیجه انجام شمارش جعبه است که در آن اندازه جعبه از 5 برابر عرض (یا ارتفاع) تصویر تا 1 پیکسل متغیر است. برای انتخاب موفقیت آمیز دامنه اندازه جعبه ، درک مناطق نمودار نشان داده شده در اینجا مهم است.

در زیر برخی از اشکال وجود دارد که ابعاد دقیق فراکتال برای آنها مشخص است ، اینها می توانند همگرایی و ابعاد تخمین زده شده با استفاده از این نرم افزار را آزمایش کنند. توجه داشته باشید که برای مثالهایی که در زیر آن دارای ابعاد فراکتالی هستند ، انتظار یک مسابقه کامل برای نظری را ندارد زیرا تصویر فقط تقریب شکل فراکتال واقعی است. توجه داشته باشید که از آنجا که FDC فرض می کند جسم در خارج از منطقه تصویر وجود ندارد ، تخمین های فرش Sierpinski به ویژه نسبت به این امر حساس است.

بعد خط: 1 محاسبه شده: 0. 975 (1 افست) محاسبه شده: 0. 988 (10 کار) محاسبه شده: 0. 993 (100 جبران)

ابعاد واشر Sierpinski: log (3)/log (2) = 1. 585 محاسبه شده: 1. 672 (1 جبران) محاسبه شده: 1. 594 (10 کار) محاسبه شده: 1. 590 (100 کار)

موضوع پیشرفته: تجزیه و تحلیل منطقه ای

می توان بخشی از تصویر را تجزیه و تحلیل کرد. مثلا

پیش بینی می شود که در عملیات عادی منطقه مورد علاقه قبل از تجزیه و تحلیل بعد فراکتال در یک صفحه ویرایش تصویر انتخاب شود. توانایی پردازش فقط یک منطقه از تصویر در نظر گرفته شده است که با اسکریپت های اتوماتیک برای تخمین بعد فراکتال به صورت محلی در سراسر تصویر استفاده شود ، به عنوان مثال ، هنگامی که انتظار می رود بعد در تصویر متفاوت باشد. رویکردی که ممکن است مورد استفاده قرار گیرد این است که یک منطقه مستطیل شکل را در سراسر تصویر برآورد می کند که ابعاد در هر موقعیت را تخمین می زند ، این تخمین ها می توانند برای شکل گیری تصویری که نشان دهنده تغییر بعدی است ، ترکیب شوند. این شبیه به یک پنجره کشویی است که در پردازش سیگنال برای محاسبه تنوع طیف فوریه یک سری زمانی استفاده می شود. دو متغیر درگیر است ، عرض پنجره و فاصله بین دو موقعیت پنجره پیاپی. به طور معمول همپوشانی قابل توجهی بین ویندوز وجود دارد. تصویر زیر با تجزیه و تحلیل یک واشر (اندازه تصویر 840 در 950) با عرض پنجره 200 و اندازه گام پنجره 20 شکل گرفته است.

مقیاس رنگ یک سطح شیب دار آبی تا سبز به رنگ قرمز است که در آن آبی 1 و قرمز است. بعد صحیح در این حالت 1. 585 از این رو ظاهر سبز است. منطقه سفید جایی است که پنجره با هیچ بخشی از تصویر تلاقی نمی کند.

اندازه پنجره و پله بر اساس معامله بین وضوح زمانی و قابلیت اطمینان تخمین ابعاد انتخاب می شود. یک پنجره بزرگ تخمین های خوبی را نشان می دهد اما وضوح پایین (توانایی تشخیص تغییرات محلی در ابعاد) ، در حالی که یک پنجره کوچک وضوح خوبی را اما تخمین های ضعیف تر می دهد. در مثال بالا تخمین های خوبی وجود دارد اما وضوح پایین است. در مثال زیر از پنجره 50 با همان اندازه پله 20 استفاده می شود ، در اینجا وضوح بهتری وجود دارد اما تخمین های ضعیف تر وجود دارد.

لطفاً توجه داشته باشید که توطئه های رنگ فوق از تخمین ابعاد پنجره کشویی بخشی از بسته FDC نیست. FDC داده ها را برای موارد فوق ایجاد می کند اما این وظیفه کاربر است که داده ها را به یک فرم مناسب برای بازرسی بصری تبدیل کند.

برنامه های این نرم افزار

با استفاده از تکنیک های شمارش جعبه برای اندازه گیری شکل مستعمرات میکروارگانیسم های رشته ای. ژاک سودل و رابرت سویور ، پیچیدگی بین المللی (1995) 2

ویسکوزیته جریان گدازه ونوس: محدودیت از بعد فراکتال و ترکیب شیمیایی. W. A. Pike ، H. M. فری ، A. E. Krull ، E. B. Grosfils ، M. S. Gilmore ، L. A. Reinen و S. J. کوزاکعلوم قمری و سیاره ای xx1x

اندازه گیری فشردگی مبتنی بر GIS با استفاده از تجزیه و تحلیل فراکتال. جفری L. نایت. دانشگاه جورج میسون فیرفاکس ، ویرجینیا

محوطه سازی: مطالعه انتقادی. M. Nezádal ، O. Zmeskal ، M. Buchnicek. دانشگاه فنی برنو ، دانشکده شیمی ، انستیتوی شیمی فیزیکی و کاربردی ، Purkynova 118 ، 612 00 Bo ، جمهوری چک

خصوصیات فراکتالی پیامدهای کنترل بازخورد تیروتروپیک یک مدل غیرخطی در مقایسه با داده های تجربی. J. W. Dietrich ، A. Tesche ، C. R. Pickardt و U. Mitzdorf. سایبرنتیک و سیستم ها ، 2002

اندازه گیری قرمزی چشمی: اندازه گیری مرتبه اول (درخشندگی و کروماتیک) اطلاعات بیشتری نسبت به اندازه گیری مرتبه دوم (ساختار مکانی) ارائه می دهد. T. Simpson ، A. Chan ، D. Fo. مرکز تحقیقات لنزهای تماسی ، دانشکده اپتومتری ، دانشگاه واترلو.

تشخیص حادثه توسط تجزیه و تحلیل ابعاد فراکتال داده های تشخیص حلقه. کیم توماس و حسون دیا. بیست و دومین کنفرانس موسسه تحقیقات حمل و نقل استرالیا (CAITR-2000) ، کالج اورسولا ، پردیس آنو ، کانبرا ، استرالیا.

راه شیری چقدر بزرگ است؟+به علاوه شماره 15. توبی اونیل

پیشرفت در اجرای روش شمارش جعبه تخمین بعد فراکتال. K Foroutan-Pour ، P Dutilleul ، DL Smith. ریاضیات کاربردی و محاسبات جلد. 105 شماره 2-3 نوامبر 1999

توضیحات بافت و تقسیم بندی از طریق هندسه فراکتال. J. M. Keller ، S. Chen ، R. M. تاجچشم انداز رایانه ، گرافیک و پردازش تصویر. 45 ، 150-166 ، (1989).

هندسه فراکتال طبیعت. B. B. Mandelbrot. سانفرانسیسکو ، فریمن.

فراکتال ها و سیستم های بی نظمی. A. Bunde ، S. Havlin. Springer Verlag ، برلین ، هایدلبرگ.

تعداد بی نهایت ابعاد عمومی فراکتال و جاذبه های عجیب. H. G. E. Hentschel ، I. Procacaccia. Physica (آمستردام) 8d ، 435 (1983)

تعیین ابعاد فراکتال برای چند قطعه هندسی. T. Tel ، A. Fulop ، T. Vicsek. Physica A ، 159 ، 155-166 (1989)

بعد حاکم یا قطب نما

ژوئن 2017 را به روز کنید ، برای اجرای داده های بردار به زیر مراجعه کنید.

در حالی که این برنامه به طور کلی در دسترس نیست ، اگر مورد علاقه باشد ، لطفاً از طریق ایمیل با نویسنده تماس بگیرید. نویسنده همچنین برای مشاوره و توسعه نرم افزار در این زمینه در دسترس است.

معرفی

یک روش "استاندارد" برای برآورد طول منحنی در هواپیما ، شمردن چند طول خط کش برای حرکت از شروع منحنی تا انتها است. از آنجا که حاکم دارای طول محدود است ، جزئیات منحنی که کوچکتر از خط کش است از بین می رود و بنابراین طول اندازه گیری ما معمولاً کمتر از طول واقعی است. این در زیر برای دو حاکم (قرمز) از طول مختلف که برای تخمین طول منحنی به رنگ سیاه استفاده می شود ، نشان داده شده است.

به طور شهودی ما معتقدیم که هرچه حاکم ما کوتاه تر شود ، برآورد ما از طول واقعی بهبود و افزایش می یابد. برآورد طول در تصویر سمت راست بالا به طول واقعی نزدیکتر است زیرا از نزدیک تر منحنی را دنبال می کند.

این برآورد بهبود یافته با کاهش طول حاکم مطمئناً برای بسیاری از منحنی ها (1 اشیاء بعدی) صادق است اما برای دیگران صادق نیست. به چنین منحنی هایی به عنوان فراکتال گفته می شود و آنچه را که به عنوان یک بعد فراکتال بین 1 تا 2 شناخته می شود ، وجود دارد. ابعادی که از این طریق اندازه گیری می شود ، به ابعاد Hausdorff Besicovitch گفته می شود.

شاید اغلب به عنوان مثال نقل قول "ساحل انگلیس باشد؟". می توان طول را با استفاده از نقشه و یک قطب نما برای گفتن شعاع 50 کیلومتری اندازه گیری کرد. با استفاده از شعاع قطب نما کوچکتر و کوچکتر ، تخمین بهتری حاصل می شود ، هر یک جزئیات بیشتر و بیشتر را نشان می دهد. می توان به فراتر رفت و کسی را در ساحل قدم بردارد ، آنها هنوز هم تصمیم می گیرند که چقدر از نزدیک ساحل را دنبال کنند. هرچه فرد بیشتر و بیشتر "دقیق" می شد ، جزئیات بیشتر و بیشتر در مورد اینکه دقیق در مورد آنها پیدا می شود ، پیدا می شود. مانند اکثر فراکتال ها در دنیای واقعی ، این فرآیند و بنابراین ماهیت فراکتالی جسم فقط در برخی از مقیاس های محدود مناسب است.

در طبیعت نمونه های زیادی وجود دارد که رابطه بین طول اندازه گیری شده و طول خط کش خطی نیست ، یعنی: 1 بعدی. طرح کلی از محدوده کوه ، ابرها و حرکت براون نمونه های دیگری است.

بعد حاکم یا قطب نما یک منحنی از رابطه بین طول یک خط کش و تعداد حاکمان مورد نیاز برای اندازه گیری طول منحنی محاسبه می شود. این توسط

جایی که C ثابت است. گرفتن گزارش از هر دو طرف

log (n (l)) = log (c) - d log (l)

بنابراین اگر ما برای طیف وسیعی از مقادیر L ، در برابر log (l) در برابر log (l) طرح ریزی کنیم ، شیب تخمین از بعد فراکتال D. خواهد بود.

پیاده سازی

نرم افزاری که در اینجا شرح داده شده است ، طول یک منحنی را با اندازه گیری آن با طول خط کش های کوتاهتر کوتاهتر تخمین می زند. نتایج هنگامی که ترسیم شده در بالا ترسیم شده است ، تخمین از بعد فراکتال منحنی را ارائه می دهد.

این نرم افزار به نمایش منحنی نیاز دارد ، این به عنوان پرونده مختصات (x ، y) است. قالب پرونده ساده است ، این یک سری از جفت های x ، y به عنوان عدد صحیح از شماره های نقطه شناور است ، هر شماره و هر جفت با هر کاراکتر "فضای سفید" (برگه ، فضا ، بازگشت کالسکه. خط و غیره) از هم جدا می شوند. چند خط اول از چنین قالب پرونده در سمت راست نشان داده شده است.

دامنه طول خط در قدرت SQRT (2) از نیمی از طول مورب جعبه محدودیت منحنی تا هر دو - 1/512'th طول مورب ، یا - طول کوتاه ترین بخش خط که تا کنون متغیر است ، متغیر است. اول اتفاق می افتد

از آنجا که این نرم افزار خط کش را کاهش می دهد ، به صورت گرافیکی نتایج را نشان می دهد. نمودارهای زیر عکسهای فوری برای 6 حاکم اول است که سر و صدای براونیان (1/F 2) را تجزیه و تحلیل می کنند. خط سیاه منحنی است که مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد ، خطوط آبی خطوط حاکم هستند و خطوط قرمز شعاع قطب نما هستند.

نمودار log (l) vs log (n (l)) برای تجزیه و تحلیل فوق در زیر آورده شده است. بعد مورد انتظار 1. 5 (Hurst Exponent H = 0. 5 ، D = 2 - H) قبل از استفاده از نرم افزار برای محاسبه ابعاد فراکتال منحنی هایی که ما از ابعاد آن نمی دانیم ، باید با منحنی هایی که ما می دانیم آزمایش شودبعد

انتظار می رود: D = log (4)/log (3) = 1. 26.

انتظار می رود: D = log (8)/log (4) = 1. 5

موارد فوق برای بازنمایی تصویر منحنی ها اعمال می شود ، این می تواند برای بسیاری از مجموعه داده ها که ممکن است دارای جزئیات مقیاس بزرگ و دانه ریز باشند ، محدود کننده باشد ، بنابراین نیاز به وضوح تصویر بسیار بزرگ برای نمایش مؤثر به عنوان یک تصویر دارند. مشکلات دیگری در قابلیت اطمینان تخمین های بعد قطب نما ناشی از تغییر شکل داده های بردار وجود دارد. نرم افزار شرح داده شده در اینجا (VCOMPASSDIM) ابعاد قطب نما را برای داده های بردار در 2D محاسبه می کند.

داده ها از طریق یک فایل متنی متشکل از جفت x ، y به نرم افزار منتقل می شوند ، هر شماره و جفت می توانند توسط هر شخصیت فضای سفید از هم جدا شوند اما معمولاً فضایی بین x و y و یک کالسکه قبل از جفت بعدی است. چند خط اول یک فایل داده مثال ممکن است به شرح زیر باشد

مطابق با برآوردگرهای ابعاد اولیه فراکتال ، قبل از استفاده از داده های واقعی ، کد باید با دقت در برابر منحنی ها با ابعاد شناخته شده آزمایش شود. یکی از این منحنی ها منحنی Koch با ابعاد fracal از log (4)/log (3) = 1. 26 است. یک شکل بردار از آن منحنی تولید می شود و نمودار log (l) vs log (n (l)) و منحنی خطی که در زیر نشان داده شده است.

به عنوان یک بصری ، نرم افزار به صورت اختیاری یک تصویر را برای هر طول قطب نما می کند. به عنوان مثال در زیر نشان داده شده است ، خط سیاه منحنی است که از پرونده داده خوانده می شود ، خطوط آبی حاکمان هستند که از منحنی پیروی می کنند و دایره های قرمز قوس های قطب نما هستند.

مثال دیگر ممکن است استفاده از منحنی پر کردن فضایی باشد ، جایی که بعد قطب نما باید به 2 نزدیک شود. نمونه ای از زیر است.

این نرم افزار log (l) و log (n (l)) را به عنوان متن در 4 ستون به شرح زیر می نویسد

و سرانجام بعد قطب نما شیب همانطور که در زیر نشان داده شده است.

اندرو هریسون. فراکتال در شیمی ، آغازگرهای شیمی آکسفورد. انتشارات علمی آکسفورد ، 1995

T. G. اسمیت جونیور ، دبلیو. Marks ، G. D. Lang ، W. H. کلانتر جونیور ، و E. A. نیلتجزیه و تحلیل فراکتال از تصاویر سلولی. مجله روشهای علوم اعصاب ، جلد 27 ، صص 173-180 ، 1989

Heinz-Otto Peitgen. فراکتال در کلاس ، قسمت 1. Springer-Verlag ، 1991 ، صص 240

Heinz-Otto Peitgen ، Dietmer Saupe. علم تصاویر فراکتال. Springer-Verlag ، صص 61 ، 1985

لاکنانداری

Lacunarity در ابتدا به عنوان ابزاری برای طبقه بندی بیشتر فراکتال ها و بافت هایی که دارای ابعاد فراکتالی یکسان و ظاهری بصری بسیار متفاوت بودند ، معرفی شد. Lacunarity اندازه گیری از چگونگی پر کردن فضای فراکتال است ، اگر Fractal متراکم باشد ، لاکناریت کوچک است ، لاکناریت با درشت افزایش می یابد.

روش 1: (VOSS)

بگذارید P (M ، R) این احتمال باشد که یک جعبه از اندازه R حاوی پیکسل های سیاه باشد. تعریف م₁(R) و م₂(r) به شرح زیر

روش 2:

میانگین m (r) و واریانس v (r) تعداد پیکسل های سیاه را در هر اندازه جعبه r محاسبه کنید.

یادداشت

• این دو تعریف نتایج یکسان دارند.

   

توضیحات بافت و تقسیم بندی از طریق هندسه فراکتال. J. M. Keller ، S. Chen ، R. M. کلاغچشم انداز رایانه ، گرافیک و پردازش تصویر ، 45 ، 150-166 (1989)

خصوصیات و اندازه گیری پدیده های مقیاس پذیر در سیستم های بی نظم. R. Voss ، R. Py and A Skjeltorp ، (ed) ، نیویورک ، 1986.

روشهای فراکتال و منجر به مورفولوژی سلولی می شود. G. D. Lange و W. B. مارک هاJ. Neurosci ، 69 ، 1123-1126 (1996)

محاسبه لاکناریتی در حد فراکتال واقعی. D. A. Fabio ، A. Reis ، و R. Riera. J. Phys. A. Math ، 27 ، 1827-1835 (1994)

تجزیه و تحلیل تصویر سه بعدی و خصوصیات فراکتال عروق شریانی کلیه. M. Seetz ، J. Wubbeke و P. Wiezek. Physica A ، 191: 13-16.(1992)

طیف چند عاملی

بگذارید n (r) تعداد کل جعبه ها (غیر همپوشانی) طول اندازه R باشد که جسم را پوشانده است. بگذارید م_i(r) توده ای در جعبه ITH باشد. Z (Q ، R) را به شرح زیر تعریف کنید.

ابعاد چند منظوره D (q) توسط

(q - 1) d (q) = شیب ورود به سیستم (Z (q ، r)) در مقابل log (r)

q از infinity (تمرکز در مناطق متراکم کمتر) و +بی نهایت (کنسانتره در مناطق متراکم) است.

برای Q = 0 این به بعد جعبه استاندارد کاهش می یابد.

شعاع انبوه

تمام محافل شعاع R را که مرکز خود را روی شیء دارند ، در نظر بگیرید. بگذارید م_i(r) توده ای در حلقه ITH باشد ، و تعداد کل دایره های شعاع R N (R) است. سپس z (q ، r) به عنوان تعریف می شود

ابعاد چند منظوره D (q) توسط

q q (q) = شیب ورود به سیستم (z (q ، r)) در مقابل log (r)

ابعاد فراکتال: log (3) / log (2) = 1. 585

ابعاد فراکتال: log (4) / log (3) = 1. 262

D_{-بی نهایت}= log (17)/log (5) = 1. 760

D_{بی نهایت}= log (17/4)/log (5/2) = 1. 570

1000x1000 پیکسل 100000 امتیاز تصادفی. به طور یکنواخت در هر دو محور توزیع می شود.

1000x1000 پیکسل 500000 امتیاز تصادفی. به طور یکنواخت در هر دو محور توزیع می شود.

خصوصیات چند منظوره توزیع اندازه ذرات خاک. A. N. D. Posadas ، D. Gimenez ، M. Bittelli ، C. M. P. واز ، و م. فلری. SKI SCI. SOC. صبح. J. 65: 1361 1367 (2001)

تعیین مستقیم طیف تکینگی F (آلفا). A. Chhabra و R. V. جنسننامه های بررسی فیزیکی ، 62 ، مارس 1989 ، #12

ویژگی های چند منظوره پیاده روی های تصادفی در فراکتال های تصادفی. A. Bunde ، S. Havlin ، H. E. رومیبررسی فیزیکی 42 ، 6274 (1990)

پدیده های چند منظوره در فیزیک و شیمی. H. E. استنلی و P. Meakin. طبیعت ، 335 ، 405 (1988)

اندازه گیری عجیب جاذبه های عجیب و غریب. P. Grassberger و I. Procaccia. فیزیکا ، آمستردام ، 9d ، 189 (1983)

مقیاس گذاری در قیمت های مالی: غلظت چند منظوره IV. MB. ماندلبروتامور مالی کمی ، جلد 1 ، 641-649 (2001)

نورون های چند منظوره هستند. E. Feandez ، J. A. بولن ، و همکاران. مجله روشهای علوم اعصاب ، 89 ، 151-157 (1999)

مکانیسم های فیزیکی زیربنای رشد نوریت: تجزیه و تحلیل کمی از شکل عصبی. Caserta ، F. ، et al. نامه های بررسی فیزیکی ، 1990. 64 (1): ص. 95-9

توطئه های عود

توطئه های عود برای آشکار کردن غیر ثابت بودن یک سری و همچنین نشان دهنده میزان بیماری در حال استفاده است. آنها برای اولین بار توسط اكمن و همكاران در حدود سال 1986 به منظور مطالعه مدارهای فاز فضا پیشنهاد شدند. به عنوان مثال ، برای یک سیستم ثابت ، طرح عود باید به طور کلی در امتداد مورب همگن باشد.

یک سری X را با اصطلاحات N در نظر بگیرید

تمام بردارها را تشکیل دهید_iابعاد (طول) D با تاخیر (تأخیر) د.

این معمولاً به عنوان تعبیه X در ابعاد D با تاخیر d گفته می شود.

طرح عود با مقایسه تمام بردارهای تعبیه شده با یکدیگر شکل می گیرد و وقتی فاصله بین دو بردار زیر برخی از آستانه ها قرار دارد ، نقاط ترسیم می شود. به طور دقیق تر ، ما یک نقطه را در مختصات (i ، j) ترسیم می کنیم اگر بردارهای تعبیه شده Ith و J'th از فاصله کمی فاصله داشته باشند ، به عنوان مثال: اگر یک نقطه ترسیم شود

من در امتداد محور افقی ، J در محور عمودی ترسیم شده است.

اگر طرح عود حاوی توزیع همگن اما نامنظم از نقاط باشد ، این سریال عمدتا تصادفی است.

به عنوان مثال ، برای یک سری تصادفی (نویز سفید با میانگین = 0 ، انحراف استاندارد = 1) طرح عود مانند شکل زیر است (d = 2 ، h = 1 ، r = 0. 05)

توجه داشته باشید که طرح عود به طور مورب متقارن است زیرا فاصله وکتور تعبیه شده Ith به وکتور تعبیه شده JTH همان فاصله J'Th تا Ith است. همچنین ، یک خط مورب وجود دارد که i = j (فاصله بین بردارها 0 است و از این رو همیشه کمتر از آستانه)

خطوط موازی مستقیم طولانی یک سری دوره ای را نشان می دهد.

به عنوان مثال موارد زیر طرح عود برای یک سینوسی است ، فاصله بین خطوط مورب دوره است.

خطوط یا نوارهای سفید افقی و عمودی با حالت هایی که اغلب اتفاق نمی افتد همراه است. خطوط سیاه افقی و عمودی حاکی از کشورهایی است که برای دوره های زمانی بدون تغییر باقی می مانند.

یکی از مشکلات تعیین فاصله مناسب r است. در نرم افزاری که در اینجا ایجاد شده و در زیر ذکر شده است ، کاربر می تواند مقدار R را انتخاب کند ، سپس نرم افزار 3 قطعه عود با R/2 ، R و 2R ایجاد می کند. رویکرد دیگر نشان دادن تمام شعاع و نشان دادن این موضوع با یک نقشه عود رنگ است که در آن دامنه شعاع بر روی رنگهای مختلف نقشه برداری می شود. در مثال در سمت راست از همان سینوسی مانند مثال آخر استفاده می شود و شعاع R بر روی نقشه رنگ آبی تا قرمز (آبی = R کوچک ، قرمز = R) نقشه برداری می شود.

برای یک سری هرج و مرج در سمت راست ، نمودار پیچیده تر است. قطعات دوره ای مختصر (نوارهای مورب کوتاه) وجود دارد. سری زمانی مورد استفاده در زیر معادله لجستیک است که در منطقه هرج و مرج کار می کند ، یعنی

تغییرات چگالی قابل توجهی در نزدیکی مورب نشانه ای از عدم ایست بودن است. طرح زیر برای یک چاله خطی جارو شده است.

انتگرال همبستگی فقط "چگالی" نقاط در یک طرح عود است ، یعنی تعداد نقاط تقسیم شده بر تعداد کل امتیازات در طرح.

توجه داشته باشید ، فرمولاسیون شامل نقاط در امتداد مورب است که i = j. تعیین شیب همبستگی به عنوان تابعی از ورود به سیستم (R) به بعد همبستگی می دهد. این کارآیی را از یک قطعه عود رنگ محاسبه می کند که در آن به طور کلی ، تمام مسافت ها محاسبه شده و به سادگی باید از طیف وسیعی از شعاع قدم برداشته و تعداد سلول ها را با فاصله کمتر از شعاع بشمارید.

در نمودار در سمت راست ، انتگرال همبستگی بیش از طیف وسیعی از شعاع برای یک منبع سر و صدای سفید و معادله لجستیک که در رژیم هرج و مرج کار می کند محاسبه می شود. بعد تعبیه 2 و تأخیر 1 است.

نمودار سمت راست از همان سری هرج و مرج در بالا استفاده می کند اما در حالی که تأخیر را در 1 ثابت نگه می دارد ، بعد تعبیه را از 2 تا 6 متفاوت می کند.

در این حالت تأخیر از 1 تا 3 با بعد تعبیه ثابت 2 متغیر است.

سودمندی این نتیجه ناشی از مشاهده است که بعد فراکتال یک جذب کننده یک سیستم هرج و مرج شباهت خود را نشان می دهد. می توان نشان داد که بعد توپولوژیکی یک جاسازی همان ابعاد توپولوژیکی جاذبه زیرین است تا زمانی که بعد تعبیه به اندازه کافی بزرگ باشد. متأسفانه هیچ روش ساده ای برای تعیین اینکه "به اندازه کافی بزرگ" چیست ، مگر با محاسبه بعد همبستگی برای تعدادی از ابعاد مختلف تعبیه وجود ندارد. توجه داشته باشید ، تأخیر مورد استفاده برای تعبیه معمولاً در صفر اول عملکرد همبستگی خودکار قرار می گیرد.

این مثال همچنین جزئیات کوچک دیگری را نشان می دهد ، به طور معمول کسی مایل به تهیه نقشه عود نیست که به اندازه تعداد امتیازات در سری زمانی گسترده و بلند باشد. سری زمانی مورد استفاده در این مثالها 2000 امتیاز عرض دارد در حالی که نقشه های عود 400 پیکسل عرض دارند. این با نمونه برداری زیر حل می شود اما بسته به ابعاد و تأخیر می تواند در حاشیه نقشه عود وجود داشته باشد که محاسبات را نمی توان انجام داد (به حاشیه سفید در سمت راست و بالای این طرح عود مراجعه کنید).

تغییر در ضخامت خطوط نشانگر تغییر دامنه سری است.

از منبع C تصویر زیر برای تولید نمودارهای نشان داده شده در بالا استفاده شد

درک پویایی غیرخطی. دانیل کاپلان و لئون گلس. صدای جنجال

توطئه عود سیستم های دینامیکی. Eckman ، J. P. ، et. همیوروفیزکاهنده4 ، 973 (1 نوامبر 1987).

خصوصیات جاذبه های عجیب. Grassberger ، P. ، Procaccia ، I. Phys. روحانی لت. 50 ، 346 (31 ژانویه 1983).

شباهت خود

فراکتال ها معمولاً آنچه را که شباهت خود را در مقیاس ها نامیده می شود ، دارند. یعنی همانطور که یکی از هندسه/تصویر در داخل یا خارج می شود ، ظاهری مشابه (گاهی دقیق) دارد. در زیر انواع مختلفی از شباهت خود و همچنین نمونه های دنیای واقعی نشان می دهد.

شباهت دقیق خود

شباهت خود ممکن است دقیق باشد ، این معمولاً فقط در فراکتال های تعریف شده ریاضی رخ می دهد که در آن واقعیت ها/محدودیت های ساختار توسط دنیای فیزیکی اعمال نمی شود. مثال زیر منحنی شناخته شده Snowflake Koch است که با شروع با یک بخش یک خط و در هر تکرار جایگزین هر بخش خط توسط چهار نفر دیگر به شرح زیر است. از آنجا که یک نفر پی در پی در شکل حاصل از آن زوم می کند دقیقاً یکسان است هر چقدر هم که در بزرگنمایی استفاده شود.

تقریبی شباهت خود

یک نوع بسیار رایج تر شباهت خود یک مورد تقریبی است ، یعنی همانطور که فرد در مقیاس های مختلف به شیء نگاه می کند ، ساختارهایی را می بیند که قابل تشخیص هستند اما دقیقاً چنین نیست. نمونه ای از این در یک سیستم ریاضی تعریف شده را می توان به راحتی توسط تمام الگوهای مشاهده شده در مجموعه ماندلبوت نشان داد. نمایش زیر سه زوم پی در پی و در هر سطح یک ساختار مشابه اما دقیقاً مشابه کل مجموعه Mandelbrot یافت نمی شود.

توجه داشته باشید که در مثال بالا ، ساختار مشابه خود در سطوح گسسته از مقیاس رخ می دهد در حالی که سایر سیستم ها مانند منحنی Koch شباهت خود در همه مقیاس ها رخ می دهد.

شباهت خود آماری

بعضی اوقات شباهت خود از نظر بصری آشکار نیست ، اما ممکن است اقدامات عددی یا آماری وجود داشته باشد که در مقیاس ها حفظ می شوند. یک اندازه گیری بارز ممکن است بعد فراکتال ، در مثال زیر از نویز 1/f باشد. بعد فراکتال با بزرگنمایی یکی ثابت است.

مثال 1 - زمین

تصویر زیر را در نظر بگیرید ، آیا آن در مقیاس یک قطعه بزرگ از زمین ناهموار است که از یک هواپیما ، یا سمت کوه یا یک تکه خاک در مقیاس چند متر یا یک بزرگنمایی از سطح A عکس گرفته شده است. سنگ خشن؟هر کدام که باشد ، می توان به راحتی تصور کرد که هر یک از دیگران است. بنابراین می توان از دیدگاه در مقیاس بزرگ از هوا شروع کرد و زوم های پی در پی را در مقیاس میکروسکوپی اعمال کرد ، سطح آن شباهت خود را در آن مقیاس ها حفظ می کند.

مانند اکثر ساختارهای فراکتال که در طبیعت یافت می شود ، شباهت خود فقط در طیف وسیعی از مقیاس ها رخ می دهد. در مثال بالا ، هیچ شباهت خود به عنوان بزرگنمایی برای دیدن کل سیاره ، یا بزرگنمایی در مقیاس های میکروسکوپی وجود ندارد.

مثال 2 - برگ سرخس

در مورد شباهت خود که در سرخس یافت می شود ، نه تنها محدودیتی در مقیاس مقیاس وجود دارد که در آن شباهت خود رخ می دهد بلکه فقط در چند مقیاس گسسته نیز رخ می دهد.

مثال 3 - انشعاب درخت

سازه های شاخه ای مانند ریشه ، مویرگ ، شبکه های رودخانه اغلب شباهت خود را در مقیاس ها نشان می دهند. در بعضی موارد ، یک درخت جوان ممکن است از نظر زمان ، یعنی با رشد ، خود مشابه باشد. یک درخت بونسای نمونه خوبی است (اگر کمی مصنوعی) از این امر باشد. درختان زیر ، علاوه بر این واقعیت که می توانید آنها را در متن آنها مشاهده کنید و از این رو مقیاس ، به راحتی تصور می شود که از یک درختچه کوچک 10 سانتی متر در هر نقطه ای باشد ، زیرا در حدود 1 متر طول دارند و حتی به عنوان درختان کوچک 10تا 20 متر ارتفاع یا درختان بزرگ 100 متر. همه آنها برای درختان احتمالی در طیف وسیعی از مقیاس ها عبور می کنند.