نوسان ساز هارمونیک

یک تحقق ساده از نوسان ساز هارمونیک در مکانیک کلاسیک ذره ای است که توسط یک نیروی بازیابی متناسب با جابجایی آن از موقعیت تعادل آن عمل می شود. با توجه به حرکت در یک بعد ، این به معنای [f = −kx label است<1>] چنین نیرویی ممکن است از چشمه ای که از قانون هوک پیروی می کند سرچشمه بگیرد ، همانطور که در شکل نشان داده شده است ( pageindex<1>)طبق قانون هوک ، که برای جابجایی های به اندازه کافی کوچک در مورد چشمه های واقعی اعمال می شود ، نیروی بازیابی متناسب با جابجایی - چه کشش یا فشرده سازی - از موقعیت تعادل است.The force constant (k) is a measure of the stiffness of the spring. The variable (x) is chosen equal to zero at the equilibrium position, positive for stretching, negative for compression. The negative sign in Equation ( ef<1>) این واقعیت را منعکس می کند که (f ) یک نیروی بازیابی است ، همیشه به معنای مخالف جابجایی (x ). اعمال قانون دوم نیوتن برای نیرو از معادله ( ref<1>) ، ما (x ) [f = m dfrac = -kx label ] را می یابیم که در آن (m ) جرم بدن متصل به بهار است ، که خود فرض می شود بی جرم است. این منجر به یک معادله دیفرانسیل از فرم آشنا می شود ، اگرچه با متغیرهای مختلف: [ ddot (t)+ omega^2x (t) = 0 label ] با [ omega^2 Equiv dfrac ]نماد نقطه (معرفی شده توسط خود نیوتن) به جای ابتلا به متغیر مستقل زمان استفاده می شود. راه حل کلی معادله ( ref ) [x (t) = a sin ωt + b cos ωt label ] است که نشان دهنده حرکت دوره ای با وابستگی به زمان سینوسی است. این به عنوان حرکت هارمونیک ساده شناخته می شود و سیستم مربوطه به عنوان یک نوسان ساز هارمونیک شناخته می شود. نوسان با فرکانس زاویه ای ثابت [ omega = sqrt رخ می دهد<dfrac>\ Text Label ] به این فرکانس طبیعی نوسان ساز گفته می شود. فرکانس دایره ای (یا زاویه ای) مربوطه در هرتز (چرخه در ثانیه) [ n = dfrac است<omega> <2pi>= dfrac<1> <2pi> sqrt<dfrac>\ text label ] رابطه کلی بین نیرو و انرژی بالقوه در یک سیستم محافظه کار در یک بعد [f = dfrac label ] بنابراین انرژی بالقوه یک نوسان ساز هارمونیک توسط [v (x) = داده می شود = dfrac<1>Kx^2 Label ] که شکل یک پارابولا دارد ، همانطور که در شکل ( pageindex ) کشیده شده است. یک محاسبه ساده نشان می دهد که نوسان ساز بین نقاط عطف مثبت و منفی حرکت می کند ( pm x_ ) که در آن انرژی کل (e ) برابر با انرژی بالقوه ( dfrac<1>k x _^) در حالی که انرژی جنبشی لحظه ای صفر است. در مقابل ، هنگامی که نوسان ساز از گذشته حرکت می کند (x = 0 ) ، انرژی جنبشی به حداکثر مقدار خود می رسد در حالی که انرژی بالقوه برابر با صفر است.

نوسان ساز هارمونیک در مکانیک کوانتومی

با توجه به انرژی بالقوه در معادله ( ref<8>) ، ما می توانیم معادله شرودینگر را برای نوسان ساز هارمونیک یک بعدی بنویسیم: [ - dfrac<hbar^> psi '' (x) + dfrackx^2 psi (x) = e psi (x) label ] برای اولین بار با یک معادله دیفرانسیل با ضرایب غیر ثابت روبرو می شویم ، که یک چالش بسیار بیشتر استحل. ما می توانیم ثابت ها را در معادله ( ref ) با دو پارامتر ترکیب کنیم [ alpha^2 = dfrac<hbar^2>] و [ lambda = dfrac<hbar^2alpha> label ] و متغیر مستقل را به عنوان [ xi = alpha^x label ] تعریف مجدد کنید. psi ( xi) = 0 label ] دامنه متغیر (x ) (همچنین ( xi )) باید از ( - infty ) گرفته تا (+ infty ) گرفته شود. هیچ گونه قطع محدود مانند مورد ذرات موجود در یک جعبه وجود ندارد. یک مرحله اول مفید تعیین راه حل بدون علامت برای معادله ( ref ) است ، یعنی شکل ( psi ( xi) ) به عنوان ( xi راست pm infty ). برای مقادیر کافی بزرگ از ( lvert xi rvert ) ، ( xi^ gg lambda ) و معادله دیفرانسیل توسط [ psi '' ( xi) - xi^ 2 تقریب می یابد. psi ( xi) تقریبا 0 label ] این نشان دهنده دستکاری زیر است: [ سمت چپ ( dfrac- xi^2 راست) psi ( xi) تقریبی سمت چپ ( dfrac- xi راست) سمت چپ ( dfrac+ xi راست) psi ( xi) تقریبی 0 label ] معادله دیفرانسیل مرتبه اول [ psi '( xi) + xi psi ( xi) = 0 label ] می توانددقیقاً حل شود تا [ psi ( xi) = text ، e^<xi^2/2> label ] قابل توجه ، این به نظر می رسد که یک راه حل دقیق از معادله Schrödinger (معادله ( ref )) با ( lambda = 1 ) است. با استفاده از معادله ( ref ) ، این مربوط به انرژی [e = dfrac است<lambdahbar^2alpha> = dfrachbarsqrt>= dfrac hbar omega label ] که در آن ( omega ) فرکانس طبیعی نوسان ساز مطابق مکانیک کلاسیک است. عملکرد در معادله ( ref ) به شکل یک گاوسی ، منحنی زنگ شکل بسیار محبوب در علوم اجتماعی است. این تابع هیچ گره ای ندارد ، که ما را به این نتیجه می رساند که این نشان دهنده وضعیت زمین سیستم است. حالت زمین معمولاً با عدد کوانتومی (n = 0 ) تعیین می شود (ذره موجود در یک جعبه یک استثنا است ، با (n = 1 ) برچسب زدن وضعیت زمین). با بازگشت به متغیر اصلی (x ) ، ما [ psi_ (x) = text e^] را با [ alpha = (mk/ hbar^2)^ label ] می نویسیم. یک انتگرال مشخص شناخته شده (لاپلاس 1778) [ int^<infty>_ <infty>e^< alpha x^>dx = sqrt<dfrac<pi>> label ] ما عملکرد خاص نرمال را پیدا می کنیم [ psi_ (x) = ( dfrac<pi>)^ e^<alpha x^/2> label ] با مقادیر خاص مربوطه [e _ = dfrac hbar omega label ] ترسیم از تجربه ما با ذره در یک جعبه ، ممکن است اولین حالت هیجان زده از نوسان ساز هارمونیک باشدبه معادله ( ref ) ، اما با یک گره در (x = 0 ) ، بگویید ، [ psi_ (x) = const x e^<alpha x^/2> label ] این به ( psi_0 (x) ) با تقارن متعامد است و در واقع یک عملکرد خاص با eigenvalue [e _ = dfrac hbar omega label ] ادامه روند ، ما یک عملکرد را با یک عملکرد بادو گره [ psi_ = const (x^-a) e^<alpha x^/2> label ] با استفاده از انتگرال های جدول بندی شده در مکمل 5 ، در انتگرال های گاوسی ، ما تعیین می کنیم که با (a = dfrac ) باعث می شود ( psi_ (x) ) متعامد به ( psi_ (x) )و ( psi_ (x) ). ما تأیید می کنیم که این یکی دیگر از عملکردهای خاص ، مربوط به [e _ = dfrac hbar omega label ] نتیجه کلی ، که از یک تجزیه و تحلیل ریاضی پیشرفته تر است ، فرمول زیر را برای عملکردهای نرمال ارائه می دهد: [ psi__ [ psi__(x) = ( dfrac<sqrt><2^n!sqrt<pi>>)^ H _ ( sqrtx) e^<alpha x^/2> label ] که در آن (h _ ( xi) ) نشانگر چند جمله ای هرمیت درجه (n ) است. چند چند جمله ای هرمیت اول [h _ ( xi) = 1 ] [h _ ( xi) = 2 xi ] [h _ ( xi) = 4 xi^-2 ] [h_ (h_ ( xi) = 8 xi^-12 xi label ] چهار پایین ترین عملکردهای هارمونیک-اسکولایتور در شکل ( pageindex ) ترسیم شده است. توجه داشته باشید که شباهت توپولوژیکی به عملکردهای مربوط به ذرات مربوط به جعبه در یک جعبه است. مقادیر ویژه توسط فرمول ساده [e _ = سمت چپ (n+ dfrac راست) hbar omega label ] داده می شود. انرژی حالت زمین (e _ = dfrac hbar omega ) بیشتر از مقدار کلاسیک صفر است ، دوباره نتیجه ای از اصل عدم اطمینان است. این بدان معنی است که نوسان ساز همیشه در حال نوسان است. قابل توجه است که تفاوت بین مقادیر ویژه انرژی پی در پی دارای مقدار ثابت است [ delta e = e_-e _ = hbar omega = h n lable ] این یادآور فرمول پلانک برای انرژی یک فوتون است. از این رو جای تعجب ندارد که تئوری کوانتومی تابش دارای ساختار مونتاژ نوسان سازها باشد ، با این که هر نوسان ساز یک حالت از امواج الکترومغناطیسی از یک فرکانس مشخص را نشان می دهد.

مشارکت کنندگان و ویژگی ها

• سیمور بلندر (استاد برجسته شیمی و فیزیک در دانشگاه میشیگان ، آن آربور)

اسیلاتور هارمونیک تحت مجوز CC BY-NC-SA 4. 0 به اشتراک گذاشته می شود و توسط LibreTexts نویسنده ، ریمیکس و/یا سرپرستی شده است.

1. بازگشت به بالا
2. • نوسان ساز Anharmonic
   • اثرات ایزوتوپ جنبشی

• این مقاله به شما کمک کرد؟
• آره
• No