بهینه سازی نمونه کارها با یک مدل اطلاعات متوسط آنتروپی- حرکت

1 دانشکده تجارت فارغ التحصیل COPPEAD ، دانشگاه فدرال ریو دوژانیرو ، ریو دوژانیرو 21941-918 ، برزیل ؛moc. kooltuo@ogirdorsiavon (R. G. N.) ؛rb. jrfu. daeppoc@retep (P. W.) ؛rb. jrfu. daeppoc@arierom. egroj (J. A.)

پیتر وانکه

1 دانشکده تجارت فارغ التحصیل COPPEAD ، دانشگاه فدرال ریو دوژانیرو ، ریو دوژانیرو 21941-918 ، برزیل ؛moc. kooltuo@ogirdorsiavon (R. G. N.) ؛rb. jrfu. daeppoc@retep (P. W.) ؛rb. jrfu. daeppoc@arierom. egroj (J. A.)

خورج آنتونز

1 دانشکده تجارت فارغ التحصیل COPPEAD ، دانشگاه فدرال ریو دوژانیرو ، ریو دوژانیرو 21941-918 ، برزیل ؛moc. kooltuo@ogirdorsiavon (R. G. N.) ؛rb. jrfu. daeppoc@retep (P. W.) ؛rb. jrfu. daeppoc@arierom. egroj (J. A.)

یونگ برنزه

2 دانشکده مدیریت ، دانشگاه بردفورد ، بردفورد BD7 1DP ، غرب یورکشایر ، انگلستان

1 دانشکده تجارت فارغ التحصیل COPPEAD ، دانشگاه فدرال ریو دوژانیرو ، ریو دوژانیرو 21941-918 ، برزیل ؛moc. kooltuo@ogirdorsiavon (R. G. N.) ؛rb. jrfu. daeppoc@retep (P. W.) ؛rb. jrfu. daeppoc@arierom. egroj (J. A.)

مجوز MDPI ، بازل ، سوئیس. این مقاله یک مقاله دسترسی آزاد است که تحت شرایط و ضوابط مجوز Creative Commons Attribution (CC توسط) توزیع شده است (https://creativeecommons.org/licenses/by/4. 0/).

داده های مرتبط

داده های پشتیبانی از یافته های مطالعه حاضر در صورت درخواست نویسنده مربوطه در دسترس است.

خلاصه

در این مقاله یک مدل جدید برای بهینه سازی نمونه کارها (PO) ، با استفاده از آنتروپی و اطلاعات متقابل به جای واریانس و کواریانس به عنوان اندازه گیری خطر ، شرح داده شده است. ما همچنین عملکرد داخل و خارج از نمونه مدل اصلی مارکوویتز را در برابر مدل پیشنهادی و در برابر سایر حالتهای کوچک شدن هنر مقایسه می کنیم. مشخص شد که مدلهای من (میانگین آنتروپی) همیشه از MV (میانگین واریانس) و همتایان قوی بهتر عمل نمی کنند ، اگرچه از نظر اقدامات تنوع نمونه کارها ، به ویژه برای آنتروپی وزن نمونه کارها ، لبه ای دارند. علاوه بر این نشان می دهد که هنگام افزایش محدودیت های بازده در بهینه سازی نمونه کارها ، مدل های ME به طور کلی پایدارتر بودند و در مقایسه با MV و روشهای قوی ، پاسخ های مرطوب در بازده تجمعی و شاخص های شارپ را نشان می دادند ، اما پرتفوی آنها را با سرعت بیشتری متمرکز می کردند زیرا در ابتدا به طور یکنواخت پخش می شدند. سرانجام ، نتایج نشان می دهد که همچنین نشان داده شده است که بسته به بازار ، افزایش محدودیت های بازده ممکن است تأثیرات مثبت یا منفی بر عملکرد خارج از نمونه داشته باشد.

1. معرفی

بازارهای سرمایه یکی از محبوب ترین وسایل نقلیه سرمایه گذاری برای افراد بوده است. آنها اطلاعات مربوط به زمان واقعی در مورد قیمت های امنیتی ، نقدینگی و فرصت های زیادی را برای کسانی که به دنبال بازده هستند که بزرگتر از نرخ بهره پایه اقتصاد هستند ، در اختیار سرمایه گذاران قرار می دهند ، که امروزه در پایین ترین سطح تاریخی در سراسر جهان قرار دارد [1]. با این حال ، چگونه کسی پول خود را سرمایه گذاری می کند؟با توجه به بازاری با مجموعه متنوعی از شرکت ها و سرمایه گذاری ها ، که باید آنها را نگه دارید؟قوانین کلی که سرمایه گذاران منطقی برای تصمیم گیری خود از آنها استفاده می کنند چیست؟

پاسخ مارکوویتز به این سؤالات در مقاله اصلی وی "انتخاب نمونه کارها" [2] است که پایه و اساس نظریه مدرن نمونه کارها (MPT) را ارائه می دهد. وی در آنجا توضیح داد که چگونه یک سرمایه گذار می تواند بازده آینده خود را با توجه به میزان مشخصی از ریسک بهینه کند. وی بعداً به دلیل مشارکت خود در امور مالی ، جایزه نوبل [3] را دریافت کرد ، که وی با ویلیام شارپ برای ایجاد مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه (CAPM) [4] و مرتون مولر به دلیل مشارکت وی در امور مالی شرکت ها به اشتراک گذاشت. ماهیت انقلابی کار او معرفی واریانس ، کواریانس و انحراف استاندارد به عنوان اقدامات خطر بود که در مقابل آن می توان بازده های آینده را بهینه کرد.

شارپ کار مارکوویتز را با قرار دادن پایه های CAPM تکمیل کرد ، و با بیان اینکه سرمایه گذار منطقی باید ترکیبی از سبد بازار بهینه را در اختیار داشته باشد ، یعنی نمونه کارها که دارای بالاترین نسبت شارپ (بازده بیش از حد مورد انتظار/انحراف استاندارد) است. دارایی رایگان (به عنوان مثال لایحه خزانه داری ایالات متحده). پیشنهادات وی محصول جانبی افزودن دو فرض به مدل MPT است: اول ، هر سرمایه گذار همان توزیع قیمت را می بیند ، یعنی توافق کامل بازار در مورد پرتفوی های واقع در مرز کارآمد وجود دارد. و دوم ، در هنگام وام گرفتن یا وام با نرخ بدون ریسک ، هیچ هزینه اضافی برای سرمایه گذار وجود ندارد. در مقاله اصلی خود ، شارپ پیش بینی کرد که نمونه کارها بهینه در منطقه ای از راه حل های امکان پذیر قرار می گیرد (خطی که CAPM مجموعه های نمونه کارها کارآمد را بریده می کند) ، به جای اینکه توسط یک نقطه واحد در مرز کارآمد نشان داده شود. این امر به این دلیل است که ، از آنجا که بازار دارایی های خود را در نقطه بهینه متمرکز می کند ، اوراق بهادار که در این نمونه کارها گنجانده شده اند ، افزایش قیمت را تجربه می کنند و بازده های مورد انتظار آینده را کاهش می دهند ، از این رو نسبت های شارپ آنها ، که پس از آن با قیمت متوسط جایگزین می شوداوراق بهاداراین چرخه به طور مداوم خود را تکرار می کند ، زیرا بازارها کار می کنند.

گرچه آثار ترکیبی مارکوویتز و شارپ پایه های MPT در نظر گرفته می شوند ، اما فرضیات زیربنایی آن و کاربردهای تجربی مورد انتقاد در ادبیات بوده است. در عمل ، پرتفوی های بهینه شده حاصل تمایل دارند که متمرکز شوند و عملکرد خارج از نمونه کم ، قابل مقایسه با استراتژی های متنوع و متنوع ، همانطور که توسط [5] ارائه شده است. اخیراً ، روش جدیدی برای پراکندگی بهتر وزن نمونه کارها با استفاده از آنتروپی ، هم به عنوان یک متغیر ریسک و هم محدودیت تنوع مورد بررسی قرار گرفته است. آنتروپی را می توان به عنوان نشان دهنده عدم قطعیت یک متغیر تصادفی تعبیر کرد و در مورد خاص ما ، از آن به عنوان قیاس با واریانس استفاده می شود. به طور مشابه ، اطلاعات متقابل (MI) اندازه گیری وابستگی بین دو متغیر تصادفی است و مربوط به کواریانس است. بر خلاف واریانس و کواریانس ، آنتروپی و MI به این فرض بستگی ندارند که توزیع زیرین متغیر تصادفی طبیعی است.

بهینه سازی نمونه کارها یک منطقه تجاری کلیدی است که با عدم اطمینان معرفتی با توجه به دوتایی که توسط شیء مورد مطالعه و روش انتخاب شده برای تصمیم گیری در مورد تخصیص دارایی ایجاد شده است ، احاطه شده است. عدم اطمینان معرفتی عدم دانش در مورد اصول اساسی یا جهل کامل ، به عنوان مثال ، یک سناریوی جایگزین ممکن است. این عدم اطمینان معرفتی ذاتی برای تعیین جفت شیء - متد تحت مطالعه است و بدون در نظر گرفتن شکاف ادبیات مشخص شده ، مدل های جایگزین مورد استفاده ، انتخاب بازار سهام و شرایط تکرارپذیری که ذاتی هستند ، تا حدی ، تا حدودی به ایدیوسینکراسی ها تجلی می یابد. از هر کشوردر حالی که شناسایی مناسب شکاف ادبیات برای پیشبرد بدن دانش ، به ویژه در مدلهای بهینه سازی نمونه کارها ، که در آن مجموعه ای از روشها برای درمان جنبه های خاص از هر دارایی تخصیص داده می شود ، مرتبط است ، شکاف های تحقیقاتی خود را کاهش نمی دهندعدم اطمینان معرفتی ، فقط اطمینان از جنبه های اعتبار داخلی - با توجه به بدن فعلی دانش - و اعتبار مقیاس - یعنی اگر مدلهای تحلیلی مناسب برای رسیدگی مناسب ماهیت خاص آنچه اندازه گیری می شود ، توسعه یافته است. از این رو ، انتخاب اندازه گیری های کلیدی برای ارزیابی عدم اطمینان معرفتی در بورس سهام ، مسئله مربوط به اطمینان از تکرارپذیری تحقیق با توجه به کشورهای مجزا است ، جایی که می توان تعمیم نتایج را توسعه داد و با اطمینان بیشتری مقایسه کرد.

از این رو ، در مورد این مقاله ، عدم اطمینان معرفتی می تواند به عنوان عدم اطمینان علمی در فرآیند مدل سازی مفهوم سازی شود. این به دلیل داده ها و دانش محدود است و ابزارهای ممکن برای کاهش عدم اطمینان معرفتی در زمینه محاسبات نرم ، اجرای تجزیه و تحلیل حساسیت است ، نه تنها با اجرای مدل های جایگزین ، بلکه استفاده از پارامترهای مختلف در مدل پیشنهادی. و دلهره اصول آنتروپی اطلاعات ، برای بهبود تصمیم گیری در مورد اینکه آیا یک مدل معین در کاهش دانش عدم اطمینان معرفتی کمک می کند یا خیر. آنتروپی اطلاعات ، سنگ بنای تئوری اطلاعات است ، و معیار سازنده ای برای تنظیم توزیع احتمال نمرات محاسبه شده بر اساس دانش جزئی ارائه می دهد ، در حالی که نوعی استنتاج آماری را بر اساس ناهمگونی یا پراکندگی نمرات فراهم می کند که در آن هیچگونه تعصب اضافی یا غیرقانونی وجود ندارد. فرضیات می توانند وارد تجزیه و تحلیل شوند.

با تمرکز بر حل مشکلات مربوط به کاربرد آن ، کار حاضر به توصیف یک مدل جدید برای بهینه سازی نمونه کارها (PO) ، استفاده از آنتروپی و اطلاعات متقابل به جای واریانس و کواریانس به عنوان اندازه گیری خطر اختصاص یافته است. این اقدامات توسط [6] در مقاله اصلی وی "یک تئوری ریاضی ارتباطات" معرفی شد.

این کار همچنین بررسی خواهد کرد که اقدامات با نتایج بهتر در داده های دنیای واقعی چیست. برای این منظور ، عملکرد داخل و خارج از نمونه مدل اصلی مارکوویتز را در برابر مدل پیشنهادی و در برابر سایر روشهای کوچک شدن هنر از [7،8،9] مقایسه می کند. اقدامات عملکردی که مورد استفاده قرار می گیرد ، بازده نمونه کارها ، ریسک ، اقدامات بازده تنظیم شده ریسک و آلفا جنسن است. پایگاه داده های مورد استفاده ، سهام ترکیبات DJIA ، Ibovespa و S& P500 است که بازده ماهانه و روزانه به طور جداگانه بین سال های 2015 تا 2019 آزمایش می شود. آزمایش های جامع با MI و انواع مختلف عادی آن انجام شد ، با هدف انتخاب بهترین اجرابشرما همچنین نتایج را با مجموعه های مختلف محدودیت های بازده آزمایش می کنیم تا درک کنیم که چگونه نتایج روش پیشنهادی نسبت به تغییرات در پارامترهای ورودی حساس است. بخش 2 مشکل Markowitz PO ، اقدامات آنتروپی شانون را شرح می دهد و بررسی ادبیات را در این زمینه ارائه می دهد. بخش 3 به روش شناسی ، بخش 4 به نتایج و بخش 5 نتیجه گیری شده است.

2. بررسی ادبیات

بگذارید m (n ، t) ماتریس حاوی تحقق قیمت های P از دارایی های 1 تا N را در ستون های خود نشان دهد ، و برای زمان 1 تا t در ردیف های آن ، همانطور که در معادله (1) نشان داده شده است. تغییر قیمت نسبی p (i) t / p (i) t - 1 - 1 نشان دهنده بازده دوره چنین قیمت ها است. این محاسبه می تواند برای هر ستون (امنیت) ماتریس M برای دستیابی به ماتریس بازگشت K (N ، T) ، که توسط معادله (2) نشان داده شده است ، استفاده شود ، که به عنوان ورودی اصلی برای مشکلات PO استفاده می شود. در ابتدا ، [2] مدل PO را به عنوان یک مشکل برنامه نویسی درجه دوم توصیف کرد ، و به حداقل رساندن ریسک محدود به حداقل بازده نمونه کارها مورد نظر ، r m i n ، مانند معادله (3). وی در فرمول خود ، محدودیت های فروش کوتاه را نیز شامل می شد و مجموع وزن ها را به 1 برابر می کند. این مهم است که مشخص کنیم ، در این حالت ، واریانس و کواریانس اقدامات مورد استفاده برای نشان دادن ریسک بود ، با ∑ نمایانگر N توسطN ماتریس کواریانس معادله (2) در حالی که بازده نمونه کارها بردار ستون 1 توسط N است که توسط P ¯ حاوی میانگین بازده معادله (2) است. متغیر بهینه سازی بردار وزن نمونه کارها X N است که اطلاعات مربوط به نسبت سرمایه گذاری شده در دارایی های 1 تا n را در اختیار دارد.

M (n ، t) = |P (1) 1 P (2) 1… P (N) 1 P (1) 2 P (2) 2… P (n) 2……… P (1) T P (2) T… P (n)t |

k (n ، t) = |P (1) 2 / P (1) 1 - 1… P (N) 2 / P (N) 1 - 1 P (1) 3 / P (1) 2 - 1… P (N) 3 / P (N) 2 - 1…… P (1) T / P (1) T - 1 - 1… P (n) t / p (n) t - 1 - 1 |

همچنین در مسئله اصلی که در ادبیات یافت می شود ، مانند مشکل دو معیار ارائه شده در کتاب Boyd و Vandenberghe [10] ، که توسط معادله (4) نشان داده شده است ، وجود دارد ، جایی که محدودیت بازگشت (از این رو ، حداکثر) است)از ماتریس کواریانس در عملکرد هدف و یک μ ثابت جدید ، که ماتریس کواریانس را چند برابر می کند ، یک پارامتر گریز از خطر را نشان می دهد. این نسخه به ویژه برای محاسبه عددی مرزهای کارآمد مفید است: با تغییر در μ ، طیف وسیعی از پرتفوی های کارآمد پارتو را از حداقل واریانس (هنگامی که μ بزرگ است) تا حداکثر بازده (هنگامی که μ کوچک است) دریافت می کنیم.

یکی دیگر از فرمول های قابل توجه ، تعریف شارپ از نمونه کارها بازار است [4] ، که بخشی جدایی ناپذیر از نظریه CAPM وی است. در این نسخه ، مشکل شامل حداکثر رساندن نسبت شارپ ، یعنی نمونه کارها با بالاترین ریسک تنظیم شده در مرز کارآمد است ، همانطور که در معادله نشان داده شده است (5). طبق نظریه CAPM ، ترکیبی از این نمونه کارها با دارایی بدون ریسک (وام گرفتن وام با نرخ بدون ریسک ، بدون هزینه اضافی) همیشه باید توسط همه ، به اصطلاح سرمایه گذاران منطقی نگهداری شود ، زیرا این امر نمایانگر این امر است. بهترین تجارت بین ریسک و بازده. این یک نتیجه گیری اجتناب ناپذیر خواهد بود اگر محل شارپ و لینترر ، یعنی توافق کامل توزیع قیمت مشاهده شده توسط بازار و وام گرفتن و وام با نرخ ریسک ، صحیح باشد.

اگرچه ، کاربرد تجربی مدلهای میانگین واریانس با برخی از چالش ها روبرو می شود. رایج ترین اشکال ذکر شده در ادبیات ، مشاهده نسبتاً نظری است که توزیع سری بازگشت طبیعی نیست ، از این رو میانگین و واریانس وضعیت برآوردگر حداکثر خود را از دست می دهد و برای برآورد پارامترها ایده آل نخواهد بود. در این صورت حساسیت بیشتری به خطاها انتظار می رود ، و پیامدهای آن در [11] مورد بررسی قرار می گیرد ، که می دانند این مدل 10 برابر نسبت به ماتریس واریان س-کواریانس نسبت به خطاها حساس تر است. آنها نتیجه می گیرند که تنظیم وکتور بازده مورد انتظار به صفر می تواند منجر به "تخصیص نمونه کارها بهتر" شود ، و سرمایه گذاران که از ریسک کمتری برخوردار هستند باید زمان بیشتری را برای برآورد بازده آینده سرمایه گذاری کنند. راه حل های دیگری نیز در ادبیات ارائه شده است ، مانند بهینه سازی قوی [12] ، افزودن لحظه های بالاتر (شکوفایی و کورتوز) به عملکرد هدف [13] یا تغییر متریک خطر در کل [14]. در مورد آخرین شماره ، ادبیات قابل توجهی وجود دارد که با خطی سازی مدل میانگین واریانس همراه است و با اتخاذ اقدامات نیمه واریانس مانند CVAR (ارزش مشروط در معرض خطر) یا MAD (میانگین انحراف مطلق ، حل آن ساده تر می شود.) [15] معیارها به جای واریانس. اگرچه نسبت به این گزینه ها نسبتاً کمتر مورد بررسی قرار گرفته است ، آنتروپی نیز در ادبیات اخیر تجدید حیات کرده است و بعداً مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

فقدان محدودیت های زندگی واقعی در مدل اصلی ، مانند فروش کوتاه (SS) ، محدودیت های مرزی (BC) ، کاردینالیت (CC) ، هزینه های ثابت ، متغیر و معاملات (TC) ، تعداد زیادی معامله (TL) ، سرمایه گذاری بخش(SC) و گردش مالی (TU) ، همچنین نگرانی در ادبیات است. SS نمونه کارها را برای داشتن موقعیت های طولانی محدود می کند. قبل از میلاد مرزهای هر وزن دارایی را تحمیل می کند. CC محدودیت هایی را به تعداد اوراق بهادار سرمایه گذاری تحمیل می کند. TC هزینه ای است که سرمایه گذاران هنگام خرید یا فروش اوراق بهادار پرداخت می کنند. TL تضمین می کند که مبلغ سرمایه گذاری شده ، چند مورد از حداقل تعداد معامله است. SC تضمین می کند که بخش هایی که بیشتر سرمایه گذاری می شوند دارای وزن بالاتری هستند. و TU نرخ گردش مالی را از یک دوره به دوره دیگر تعیین می کند ، به خصوص در PO چند دوره ای مفید است. همانطور که در [12،15،16] اشاره شد ، افزودن برخی از این محدودیت ها در مدل ممکن است آن را غیر Convex یا NP-Hard ارائه دهد ، که به نوبه خود از استفاده از الگوریتم های اکتشافی یا برنامه نویسی خطی عدد صحیح مختلط استفاده می کند (MILP)روشهای جستجوی راه حل به جای تکنیک های برنامه نویسی درجه دوم (QP). در کار حاضر ، فقط از محدودیت های فروش کوتاه در مدل در رابطه با QP استفاده می شود. برای یک طبقه بندی جامع از الگوریتم های بهینه سازی مورد استفاده در بهینه سازی نمونه کارها ، به [16] مراجعه کنید ، که 175 کار PO و روش های راه حل مربوطه را بررسی و طبقه بندی کرده است. مرجع.[15] در حالی که Ref.[17] متمرکز بر مستندسازی روشهای دقیق و اکتشافی ، زبان های نرم افزاری/برنامه نویسی ، محدودیت ها و انواع تجزیه و تحلیل (فنی و اساسی) در مورد PO.

منطقه دیگر برای بهبود ، تغییر مدل از یک دوره به بهینه سازی چند دوره است. این راه حل بر آرامش محدودیت های مدل های تک دوره ای متمرکز است ، یعنی سرمایه گذاران فقط می توانند در پایان هر دوره سرمایه گذاری ، اوراق بهادار خود را تعادل برقرار کنند. مدلهای پویا باعث می شوند این فرایند به طور مداوم اجرا شود و هم در فواصل زمانی گسسته و هم مداوم توسعه یافته است. در این حالت ، از برنامه نویسی پویا و تکنیک های تصادفی برای حل مشکل به جای QP استفاده می شود. در کار حاضر ، ما از یک مدل دوره واحد استفاده خواهیم کرد و برنامه چند دوره ای را برای مطالعات بیشتر ترک می کنیم. برای مطالعه بیشتر در مورد این موضوع ، به [12] مراجعه کنید.

در مورد عملکرد خارج از نمونه ، Ref.[5] نشان داده است که پرتفوی متنوع و ساده (به همان اندازه وزنهای توزیع شده بیش از دارایی های N ، 1/ N) عملکرد بهتری نسبت به مدلهای میانگین متداول از جمله رویکرد کلاسیک ، بیزی به خطای تخمین ، محدودیت های لحظه ای و با محدودیت های نمونه کارها دارند. شبیه سازی های آنها نشان می دهد که این مدل ها فقط باید پرتفوی های ساده لوح را شکست دهند وقتی تعداد اوراق بهادار در مقایسه با دوره های تخمین کوچک باشد ، و هنگامی که سطح "بسیار بالا" از نوسانات ایدیوسنکراتیک وجود دارد. آنها همچنین دریافتند که مدل های محدود با فروش کوتاه (تنها موقعیت های طولانی) عملکرد بهتری نسبت به بدون محدودیت دارند ، و این که اوراق بهادار حداقل واریانس از نظر عملکرد تنظیم شده با ریسک خارج از نمونه عملکرد بهتری نسبت به گزینه های خود دارند. در حقیقت ، آنها ضمن استناد به کار [18] ، این نتیجه را برجسته می کنند ، که همچنین نشان می دهد که "ماتریس کواریانس نمونه تقریباً و همچنین موارد ساخته شده با استفاده از مدل های فاکتور ، برآوردگرهای انقباض یا بازده روزانه" انجام می شود. این یافته ها با Chopra و Ziembra [11] گزارش شده است. بر اساس این دانش و هدف از سرمایه گذار کوچک و ناخوشایند ، لیل و کمپانی [19] یک صندوق شاخص واریانس حداقل برای بازار برزیل ، متشکل از 20 سهام شاخص Ibovespa را پیشنهاد کردند.

با توجه به CAPM ، یکی از جامع ترین انتقادات از FAMA و فرانسوی [20] بود که تفاوت های مشاهده شده بین پیش بینی های تئوری و نتایج آزمایش های تجربی را تجزیه و تحلیل می کند. آنها دریافتند که ، حتی در شکل آرام خود که توسط [21] ارائه شده است ، نتیجه گیری اصلی این تئوری در عمل نیست. در این حالت ، Betas Market تمام اطلاعات موجود و سایر متغیرهای بیرونی ، مانند نسبت قیمت سهام کتاب به ارزش بازار و قیمت به درآمد را منعکس نمی کند ، اطلاعات مربوط به بازده مورد انتظار را که توسط Betas Market از دست رفته است ، دارند. از آنجا که CAPM تا حدودی از همان فرضیات مورد استفاده در تئوری نمونه کارها مدرن Markowitz (MPT) ناشی می شود ، یعنی اینکه سرمایه گذاران فقط به میانگین و واریانس بازده خود اهمیت می دهند ، رد عملی CAPM نیز این مبانی را زیر سوال می برد. به قول خود فاما و فرانسوی: "اگر بتا برای توضیح بازده مورد انتظار کافی نباشد ، سبد بازار کارآمد نیست و CAPM در آهنگ های خود مرده است."و در واقع ، همچنین MPT و مدل میانگین واریانس ، که آنها را "تور نظری" می نامند. به گفته آنها ، این مدل ها برای اطمینان از استفاده عملی باید به یک هدف آموزشی خدمت کنند. اخیراً FAMA و فرانسوی مدل پنج عاملی [22] را ارائه می دهند ، که شامل متغیرهای دیگری در CAPM اصلی برای توضیح ناهنجاری های تجربی مشاهده شده است.

اگرچه مدل های فاکتور یک روش بالقوه برای بازخرید CAPM و MPT از خطای تخمین است ، سایر نویسندگان از کاربرد جهانی خود در مورد PO و کاهش خطر اطمینان ندارند. مرجع.[7] استدلال می كنند كه انتخاب بین مدل های فاكتور بسیار وابسته به شرایط است و بسیاری از اوقات باید برای تأیید و تنظیم مدل شخص به طور خارج از نمونه به نظر برسد. بنابراین ، هرگز نمی توان در مورد موفقیت یک مدل فاکتور پیشینی اطمینان یافت. درعوض ، آنها روشهای دیگری برای مقابله با خطاها در برآورد پارامترها با استفاده از تکنیک های انقباض ماتریس [7،8،9] ارائه می دهند ، که یکی از تکنیک های بهینه سازی قوی موجود را نشان می دهد ، که توسط برخی از آنها به عنوان وضعیت هنر در نظر گرفته می شود [23]. این مدل ها در این مقاله در برابر مدل پیشنهادی مورد آزمایش قرار می گیرند.

سرانجام ، یکی دیگر از حوزه های تحقیقاتی امیدوار کننده ، ترکیبی از منطق فازی با PO است که هدف آن تقویت مدل با عدم اطمینان موجود در بازده مورد انتظار آینده است ، از این رو خطاهای تخمین پارامتر را کاهش می دهد. این امر به ویژه برای درج اعتقادات تحلیلگران مالی در مورد احتمال وقایع آینده و سایر متغیرها مفید است ، و این باعث می شود که این مدل در طی فرایند بهینه سازی این اثرات را حساب کند [24]. اگرچه ادبیات بسیار گسترده است ، طبق [12] ، تعداد کمی از مقاله ها بر کاربرد زندگی واقعی این ابزار متمرکز شده اند و آن را به عنوان کاندیدای خوبی برای تحقیقات آینده تبدیل می کنند. کار حاضر در استفاده از مدل احتمالی استاندارد متمرکز شده و ترکیب متغیرهای فازی را برای مطالعات آینده ترک می کند.

اصطلاح آنتروپی در ابتدا در فیزیک اعمال می شد ، ابتدا توسط رودولف کلاوزیوس ، که این مفهوم را به عنوان تفکیک به معنای تفکیک در ساختار میکروسکوپی معرفی کرد. بعداً ، لودویگ بولتزمن این مفهوم را تعمیم داد و آن را به عنوان تعداد تنظیمات میکروسکوپی جایگزین یا حالات اتم ها و مولکول های فردی در یک سیستم تعبیر کرد. با این کار ، او مفهوم اختلال آماری و توزیع احتمال را به مکانیک آماری آورد. تعاریف وی برای قانون دوم ترمودینامیک اساسی است.

در سال 1948 ، کلود شانون شاخه نظریه اطلاعات را با مقاله اصلی خود "یک تئوری ارتباطات ریاضی" [6] تأسیس کرد ، که در آن او از فرمولاسیون بولتزمن برای توصیف از دست دادن اطلاعات در سیگنال های مخابراتی استفاده کرد. در این حالت ، آنتروپی نشان دهنده حداقل پیچیدگی توصیفی یک متغیر تصادفی یا عدم اطمینان متوسط آن است. وی همچنین اطلاعات متقابل را به عنوان معیار میزان ارتباط بین سیگنال ها در حضور نویز معرفی کرد و این نشان دهنده کاهش عدم اطمینان یک متغیر تصادفی به دلیل تحقق دیگری است. به عبارت دیگر ، اطلاعات متقابل I (x ؛ y) اندازه گیری وابستگی بین دو متغیر تصادفی است. در x و y متقارن است ، همیشه غیر منفی و برابر با صفر است اگر و فقط اگر x و y مستقل باشند [25].

آنتروپی یک متغیر تصادفی X با عملکرد جرم احتمال P (x) توسط [25] تعریف شده است:

در این کار ، از لگاریتم های پایه 2 استفاده می شود ، از این رو می توان آنتروپی را به عنوان تعداد بیت های مورد نیاز برای توصیف یک متغیر تصادفی تفسیر کرد ، در این حالت ، سری بازده های تاریخی.

برای تعریف اطلاعات متقابل ، دو متغیر تصادفی X و Y را با عملکرد جرم احتمال مشترک P (X ، Y) و عملکردهای جرم احتمال حاشیه P (X) و P (Y) در نظر بگیرید. اطلاعات متقابل I (x ؛ y) آنتروپی نسبی بین توزیع مشترک و توزیع محصول p (x) p (y) است [25]: