تاخیر تصادفی مدل رشد نئوکلاسیک دیفرانسیل

با تمرکز بر تأخیر مدل رشد نئوکلاسیک دیفرانسیل در محیط های تصادفی ، ما مدل تصادفی را برای توصیف پویایی رفتار بلند مدت اقتصاد با پارامتر آشفته شده توسط صداهای سفید معرفی می کنیم. ما ثابت می کنیم که راه حل مثبت جهانی منحصر به فرد وجود دارد و محدودیت نهایی آن را در میانگین و نمونه لیاپونف نمونه تخمین می زند. سرانجام ، برخی از آزمایشات عددی برای نشان دادن نتایج نظری ارائه شده است.

1. معرفی

مدل رشد نئوکلاسیک کلاسیک با تأخیر زمانی را می توان به شرح زیر توصیف کرد:

$ $ y '(t) =- alpha y (t)+ beta y^<gamma>(t- tau) e^، $ $

با شرایط اولیه

$ $ y (s) = varphi (s) quad textsin [- au ,0],varphi in Cx08igl([- au ,0],R^x08igr), varphi (0)>0. $$

در اینجا ، (r^= [0 ،+ infty) ) ، y سرمایه در هر زایمان است ، τ تأخیر در فرآیند تولید است ، ( alpha = n+s mu ) با μ استهلاک استنسبت سرمایه ، N نرخ رشد نیروی کار است و (S در (0،1) ) متوسط تمایل به صرفه جویی است. علاوه بر این ، پارامترهای مثبت دیگر β ، γ و δ دارای معانی اقتصادی آشکار هستند. برای اطلاعات بیشتر در مورد پیشینه مدل (1. 1) ، می توان به ادبیات اشاره کرد [1 ، 2].

به راحتی می توان دریافت که مدل (1. 1) ، یک معادله دیفرانسیل تأخیر تعیین شده ، برای اولین بار توسط ماتسوموتو و Szidarovszky [1 ، 3] ارائه شده است که مدل اقتصادی را بر اساس کار روز ایجاد کرده اند [4،5،6] ، Solow [7] ، Swan [8] ، Puu [9] ، و Bischi et al.[10]علاوه بر این ، تأخیر مدل رشد نئوکلاسیک دیفرانسیل با ضرایب متغیر و تأخیر نیز در [11،12،13،14،15،16] بررسی شده است.

با این وجود ، صداهای محیطی اغلب در تاخیر در مدل رشد نئوکلاسیک دیفرانسیل تأخیر دخالت می کنند. در واقع ، مه [17] خاطرنشان كرد كه در مدل جمعیت ، به دلیل صداهای محیطی ، بسیاری از پارامترهای مربوط به سیستم ، مانند نرخ رشد ، ظرفیت زیست محیطی ، ضریب رقابت و غیره ، نوسانات تصادفی را تا حدی نشان می دهند. از آنجا که مدل رشد نئوکلاسیک همیشه تحت تأثیر صداهای محیطی قرار دارد ، مدل تصادفی در دنیای واقعی مناسب تر است. با این حال ، به بهترین دانش ما ، تقریباً هیچ کس مدل رشد نئوکلاسیک دیفرانسیل تاخیر تصادفی را به جز شیخت [18] در نظر نگرفت ، که پایداری تعادل مدل رشد نئوکلاسی دیفرانسیل تأخیر را به طور تصادفی آشفته کرده است.

فرض کنید که سر و صداهای محیطی پارامتر α را مختل می کند ، مدل متمایز از نظر تصادفی توسط معادله دیفرانسیل تأخیر تصادفی توصیف شده است

$ $ dy (t) = bigl [- alpha y (t)+ beta y^<gamma>(t- tau) e^ bigr] ، dt+ sigma y (t) ، db (t) ، $ $

جایی که (b (t) ) یک حرکت براون یک بعدی با (b (0) = 0 ) است که در یک فضای احتمال کامل تعریف شده است (( varomega ، <mathcal_>_ ، mathcal) ) ، ( sigma ^) شدت سر و صدا را نشان می دهد.

این مقاله دو هدف دارد. یکی این است که معیارهایی را برای تضمین راه حل مثبت جهانی بی نظیر پیدا کنید و دیگری تخمین محدودیت نهایی و نمونه لیاپونف نمونه (1. 3).

بگذارید به سرعت ساختار کاغذ را ترسیم کنیم. در فرقه2 ، ما یک شرط ساده را بدست می آوریم که تضمین می کند راه حل مثبت جهانی (1. 3) تقریباً منحصر به فرد وجود دارد. در مرحله بعد ، ما محدودیت نهایی آن را در میانگین و نمونه لیاپونف نمونه در فرقه تخمین می زنیم. 3. در فرقه. 4 ، ما یک مثال آزمایشی با شبیه سازی عددی برای پشتیبانی از نتایج اصلی ارائه می دهیم. سرانجام ، نتیجه گیری و انتظار نتایج خود را در آخرین بخش داریم.

2 نتیجه اولیه

در این بخش ، برخی از تعاریف اساسی و Lemmas به منظور اثبات نتیجه اصلی در بخش بعدی ارائه شده است.

تعریف 2. 1

If there is independent of initial conditions (1.2) (L>0 ) رضایت بخش

$ $ limsup_e bigl vert y (t) bigr vert leq l ، $ $

سپس گفته می شود معادله (1. 3) در نهایت به میانگین محدود می شود.

lemma 2. 1

If (alpha>frac>) ، سپس برای هر (y in r ) ،

$$x08egin& -x08igl(2alpha -sigma ^x08igr)y^+2 frac><delta ^<gamma>e^<gamma>>yleq Kx08igl(1+y^x08igr), end$$ $$x08egin& -x08igl(2alpha -sigma ^x08igr)y^+2 frac><delta ^<gamma>e^<gamma>>y leq frac<x08eta ^gamma ^<2gamma>><(2 alpha -sigma ^)delta ^<2gamma>e^<2gamma>>, end$$

اثبات

تجزیه و تحلیل خاصیت عملکرد درجه دوم آسان است ، بنابراین ما اثبات را حذف می کنیم.□

lemma 2. 2

If (alpha>frac>) ، سپس برای هر شرط اولیه (1. 2) ، (1. 3) یک راه حل منحصر به فرد (y (t) ) در ([0 ،+ infty) ) و (y (t) ) داردتقریباً مطمئناً برای (t geq 0 ).

اثبات

Because the constant coefficients of the equations are locally Lipschitz continuous, there is a unique max local solution (y(t)) on ([- au , au _)) for initial condition (1.2), where ( au _) is explosion time. Firstly, we prove (y(t)>0 ) در ([0 ، tau _] ) تقریباً مطمئناً. ما با مرحله به مرحله با آن سر و کار خواهیم داشت. برای (t در [0 ، tau] ) ، مدل (1. 3) با شرایط اولیه (1. 2) معادلات دیفرانسیل تصادفی خطی زیر می شود:

$ $ TextStyle شروع کنیدdy(t)=[-alpha y(t)+b_(t)],dt+sigma y(t),dB(t), \ y_=varphi (0)>0 ، پایان$$

که در آن (b_ (t) = beta varphi ^<gamma>(t- tau) e^ geq 0 ) a. s. ، (t in [0 ، tau] ). به راحتی می توان فهمید که (2. 3) راه حل صریح (y (t) = e^ را دارد<(alpha -frac<sigma ^>)t+ sigma B(t)>[y (0)+ int _^e^<(alpha -frac<sigma ^>)s- sigma B(s)>b_(s),ds]>0 ) A. S. برای (t in [0 ، tau] ). بعد ، در (t in [ tau ، 2 tau] ) ، (1. 3) معادله دیفرانسیل تصادفی خطی زیر تبدیل می شود:

جایی که (b_ (t) = beta y^<gamma>(t- au )e^>0 ) A. S. ، (t in [ tau ، 2 tau] ). همچنین ، (2. 4) راه حل صریح (y (t) = e^ را دارد<(alpha -frac<sigma ^>)(t- au )+sigma (B(t)-B( au ))>[y ( tau)+ int _^e^<(alpha -frac<sigma ^>)s- sigma B(s)>b_(s),ds]>0) a.s. for (tin [ au ,2 au ]) . This process can be repeated to demonstrate that for any integer (mgeq 1) , (y(t)>0) on ([m au , (m+1) au ]) a.s. Hence, model (1.3) with initial condition (1.2) has the unique solution (y(t)>0 ) تقریباً مطمئناً برای (t in [0 ، tau _] ).

In order to prove this solution is global, it is sufficient to show ( au _=infty ) a.s. Let (k_>0 ) به اندازه کافی بزرگ باشید به گونه ای که ( max_ | y (t) | $ $ tau _= inf bigl , $$

که در آن ( inf phi = infty ) (ad مجموعه خالی است). بدیهی است که ( tau _ ) به عنوان (k rightarrow infty ) در حال افزایش است. تنظیم ( tau _<infty>= lim_ tau _ ) ، جایی که ( tau _<infty> leq tau _ ) a. s. اگر بتوانیم نشان دهیم که ( tau _<infty>= infty ) a. s. ، سپس ( tau _ = infty ) a. s.

Define a (C^) -function (V(y)=y^) . Let (kgeq k_) and (T>0 ) دلخواه باشید. این از فرمول Itô پیروی می کند که برای (0 leq t leq tau _ wedge t ) ،

$ $ dv bigl (y (t) bigr) = lv bigl (y (t) ، y (t- tau) bigr) ، dt+2 sigma v bigl (y (t) bigr) ، db (t) ، $ $

که در آن (lv: r times r rightarrow r ) توسط (lv (x_ ، x _) تعریف شده است = -(2 alpha - sigma^) x _^+2 beta x_x_^<gamma>e^<delta x _>)با استفاده از (2. 2) و توجه به این واقعیت که ( sup_>x ^<gamma>e^= frac<gamma ^<gamma>>>) ، ما می توانیم آن را نشان دهیم

با توجه به (2. 6) ، ما از (2. 5) به دست می آوریم

$ $ dv bigl (y (t) bigr) leq frac gamma ^<2gamma>><(2alpha -sigma ^<2>) دلتا ^<2gamma>e^<2gamma>> ، dt+2 sigma v bigl (y (t) bigr) ، db (t).$ $

برای هر (t_ در [0 ، t] ) ، ادغام هر دو طرف (2. 7) از 0 تا ( tau _ wedge t_ )

واضح است که (v (y ( tau _ ، omega)) geq k^) برای هر ( omega in < au _)سپس از (2. 8) به دست می آوریم که

$ $ widetilde geq ev bigl (y ( tau _ wedge t) bigr) geq e bigl [i_<< au _>( omega) v bigl (y ( tau _ ، omega) bigr) bigr] geq p<< au _>k^, $$

جایی که (i_>) عملکرد نشانگر () . Letting (k ightarrow infty ) gives (lim_P\leq T>= 0 ) ، بنابراین (p < au _<infty>leq T>=0) . Because (T>0 ) دلخواه است ، ما (P <infty >=0) . Hence (P= infty >= 1 ) اثبات شده و اثبات Lemma 2. 2 به پایان رسیده است.□

نکته 2. 1

جالب است که از Lemma 2. 2 پیدا کنید که وجود محلی محلول مثبت (1. 3) با (1. 2) مستقل از شدت نویز است ، اما وجود جهانی راه حل مثبت دیگر نیست ، که توسط (2. 2) تأیید می شود.

3 نتیجه اصلی

در این بخش ما معیار محدودیت نهایی در میانگین مدل (1. 3) را ارائه می دهیم ، که یک خاصیت مهم در مدل جمعیت تصادفی است.

قضیه 3. 1

Let (alpha>frac>) نگه داشتن و (y (t) ) راه حل جهانی (1. 3) برای هر مقدار اولیه داده شده (1. 2) باشد. سپس (y (t) ) تقریباً مطمئناً در (t geq 0 ) مثبت است و این خواص را دارد

$$ limsup_Ey(t)leq frac>e^<gamma>> $$ $ $ limsup_ frac int _^ey^(s) ، ds leq frac<4x08eta ^gamma ^<2gamma>><(2alpha -sigma ^)^ delta ^ <2gamma>e^<2gamma>> . $$

به طور خاص ، (1. 3) در نهایت در میانگین محدود است.

اثبات

In view of Lemma 2.2, it is easy to see that (y(t)>0 ) در (t geq 0 ) تقریباً مطمئناً. دوباره با استفاده از (1. 1) و فرمول ( sup_>x^<gamma>e^= frac<gamma ^<gamma>>>) ، ما داریم

$$ dy(t)leq x08iggl(-alpha y(t)+frac>e^<gamma>> biggr) ، dt+ sigma y (t) ، db (t).$ $

این ، با کمک فرمول Itô ، دلالت بر این دارد

 

آموزش استراتژی معاملاتی...